Book.od.ua Книги для вашего бизнеса



Одесская библиотека бизнес литературы
полезные книги для бизнеса

42.9. Методы сглаживания

Наиболее распространенным методом сглаживания является линейная интер­поляция (linear interpolation). Однако из-за низкой точности этот метод нельзя рекомендовать для практических расчетов. При линейной интерполяции для по­строения кривой доходности используется набор цен облигаций. Если облигации с требуемым сроком погашения в наборе нет, ее доходность вычисляется путем интерполяции. Результат линейной интерполяции доходности казначейских цен­ных бумаг по состоянию на 26 июня 2000 года изображен на ил. 41.12. На этой иллюстрации интерполированными значениями являются все точки кривой, не отмеченные звездочками. Кривая, представленная на ил. 41.12, на первый взгляд, вполне пригодна для практического использования. Однако спот и форвардная доходность, вычисленные по этой кривой, демонстрируют нереалистичное по­ведение (ил. 41.13). Форвардная кривая является слишком извилистой, причем каждый ее изгиб должен соответствовать некоторой облигации, входящей в ис­ходный набор. Через 21,5 года ставка спот делает неожиданный изгиб, так что форвардная ставка в этот момент делает большой скачок. Таким образом, постро­енные кривые являются нереалистичными.
Методы сглаживания
По этой причине рыночные аналитики не используют линейную интерполя­цию, предпочитая множественную регрессию или метод сплайн-аппроксимации. Один из этих подходов основан на предположении о виде дисконтной кривой, а для оценки ее параметров использует цены облигаций.
Кубические полиномы
Одной из простейших форм дисконтной функции является кубический поли­ном (cubic polinomial). Это подход основан на предположении, что дисконтная функция является кубической функцией, зависящей от времени. Если d(t) - дисконтный множитель при сроке погашения t, то набор дисконтных множителей можно аппроксимировать следующей кубической функцией.
Методы сглаживания
Методы сглаживания
Дисконтный множитель в момент t = 0, т.е. в текущий момент времени, равен 1. Следовательно, ao = 1 и равенство (41.28) можно переписать как

Методы сглаживания

Рыночную цену облигации с процентными купонами можно выразить через дисконтные множители. Таким образом, равенство (41.30) позволяет выразить облигацию, подлежащую погашению в момент N, по которой через регулярные интервалы выплачиваются одинаковые купоны C, а в момент погашения - ос­новную сумму M.
Методы сглаживания
Используя кубический полином (41.28), трансформируем равенство (41.30) в следующее равенство.
Методы сглаживания
Для вычисления кривой доходности требуется знать коэффициент кубического полинома. Следовательно, равенство (41.31) необходимо записать как уравнение относительно этих коэффициентов.
Методы сглаживания
Точно так же можно записать другие уравнения относительно цен облигации, подставляя в него неизвестные параметры кубической функции. Из уравнения (41.32) получаем, что
Методы сглаживания
Здесь символы обозначают выражения, заключенные в квадратные скобки в уравнении (41.32).
Продемонстрируем этот подход следующим примером. Предположим, что в качестве ориентира используется четырехлетняя облигации с полугодовым 8%-ным купоном, продаваемая за 101,25. Предположим, что первый купон вы­плачивается ровно через шесть месяцев, считая от текущего момента, так что ti = 0,5 и tN = 4.
Поскольку C = 4 и M = 100, то
Методы сглаживания
Это значит, что равенство (41.33) можно переписать в следующем виде. 472a1 + 1796a2 + 7528a3 = -30,75.
Цены всех остальных облигаций выражаются через неизвестные параметры аналогично. Для того чтобы вычислить величины этих коэффициентов, можно использовать линейную регрессию или метод наименьших квадратов.16
На практике подход, основанный на использовании кубических полиномов, сталкивается с техническими сложностями, так как для каждой облигации необ­ходимо составлять отдельное уравнение. Таким образом, он не обеспечивает до­статочную гибкость аппроксимации рыночных данных. Вычисленные результа­ты следует интерпретировать не как кривую, а, скорее, как набор оптимальных дисконтных множителей. Кроме того, небольшие изменения входных данных мо­гут привести к значительным погрешностям. Например, ошибки, сделанные при вычислении дисконтных множителей для облигаций с небольшими сроками по­гашения, могут сильно сказаться на результатах для облигаций с более долгими сроками погашения. Однако для многих рыночных приложений этот метод вполне приемлем. В качестве альтернативы используются кусочно-кубические полиномы (cubic polynomial approach), в рамках которых функция d(t) на каждом интервале сроков погашения описывается разными кубическими полиномами. Это значит, что параметры ai, a2 и a3 на каждом интервале сроков погашения являются разными. Конкретная реализация этого подхода, кубические сплайны, будет рас­смотрена ниже.


Понравился материал? Поделитесь с друзьями!

<< Предыдущая статьяСледующая статья >>
42.8. Сглаживание кривой доходности 42.10. Непараметрические методы





Убедительная просьба при использовании любых материалов Одесской электронной бизнес-библиотеки ставить активную ссылку на наш сайт. По всем вопросам касательно сайта пожалуйста пишите на почту
      Карта сайта