Book.od.ua Книги для вашего бизнеса



Одесская библиотека бизнес литературы
полезные книги для бизнеса

42.3. Форвардные ставки

На ил. 41.2 продемонстрировано вычисление форвардных ставок в предполо­жении, что инвестор покупает в момент 1 одну облигацию с нулевым купоном, срок погашения которой наступает в момент T, по цене P(t, T) и одновремен­но продает P(t, T)/P(t, T + 1) облигаций, срок погашения которых наступает в момент T + 1 . Из ил. 41.2 следует, что чистым результатом этой сделки являет­ся нулевой денежный поток. В момент T возникает денежный приток, величина которого равна единице, а в момент T + 1 возникает денежный отток, величи­на которого равна P(t, T)/P(t, T + 1). Эти денежные потоки идентичны займу, взятому на период между моментами T и T + 1 и заключенному в момент t. Процентная ставка по этому займу равна P(t, T)/P(t, T + 1) и, следовательно,
Форвардные ставки
является форвардной. Иначе говоря,
Форвардные ставки
Таким образом, форвардная ставка выражается через цену облигации. Эту став­ку можно применить к займу, действующему на интервале (T, T + 1). С учетом зависимости между ценой облигации и ее доходностью из равенства (41.9) мож­но получить формулу для вычисления форвардной ставки по доходности. В этом случае доход, полученный на интервале (T, T + 1), выражается так.
Форвардные ставки
Используя формулу (41.9), можно выразить цену облигации через форвардные ставки на интервале между моментами t и T.
Форвардные ставки
В соответствии с формулой (41.11) цена облигации с нулевым купоном рав­на ее номинальной стоимости, которая здесь предполагается равной единице, и возвращается инвестору в момент T после ее дисконтирования по набору фор­вардных ставок, установленных на интервале между моментами t и T.4
Форвардные ставки
представляет собой произведение ставок, когда индекс j пробегает значения от t до T - 1 . Это значит, что цена облигации равна одному доллару, полученному в момент T и дисконтированному по форвардной ставке, установленной на период времени, заканчивающийся в момент T - 1 .
Формула (41.11) выводится следующим образом. Рассмотрим выражения для форвардной ставки, установленной на период (t, t).
Форвардные ставки
Этот процесс можно продолжить для всех последующих периодов, начиная с интервала (t, t + 3), вплоть до момента T.
Форвардные ставки
Выражение (41.18) совпадает с формулой (41.11) после упрощения.
Итак, между ценами облигаций с нулевым купоном (дисконтными множите­лями), ставками спот и форвардными ставками существует тесная взаимосвязь. Зная цены облигаций с нулевыми купоном, можно вычислить форвардную ставку, установленную на определенный период времени, истекающий в момент T - 1. И наоборот, зная ставки спот или форвардные ставки, можно вычислить цены облигаций. Таким образом, форвардные ставки можно определять на основе цен облигаций, ставок спот и дисконтных множителей ставки спот.
На ил. 41.3 приведены соответствующие спот- и форвардные ставки, применя­емые к гипотетическому набору цен облигаций с нулевым купоном (дисконтные множители). Используя формулы, выведенные выше, все эти показатели можно выразить один через другой.
Форвардные ставки
Вычисляя форвардную ставку, мы как бы записываем сегодняшнюю процент­ную ставку, которая будет применена в определенный момент времени в будущем. Иначе говоря, мы продаем форвардный контракт. При вычислении форвардной ставки используется закон одной цены, т.е. предположение об отсутствии арбит­ражных возможностей. К займу, который начинается в момент T и погашается в момент T + 1, можно также применить описанный выше подход. Рассмотрим покупку (T + 1)-периодной облигации и продажу p T-периодных облигаций. Чи­стая денежная позиция в момент Должна быть равна нулю. Поэтому для величины p должно выполняться следующее соотношение.
Форвардные ставки
Для предупреждения арбитражных возможностей цену (T + 1)-периодной облига­ции в момент Tследует установить равной величине p. Следовательно, форвардная доходность выражается такой формулой.
Форвардные ставки
Если период между моментом T и датой погашения облигации сократить так, чтобы возникали облигации, погашаемые в моменты T и T2, причем T2 = T + At, то при уменьшении величины At мгновенная форвардная ставка станет равной следующей функции.
Форвардные ставки
Эта ставка представляет собой форвардную ставку. Она равна текущей цене фор­вардного займа, который будет сделан в момент T. Форвардная ставка займа, который будет сделан сегодня, т.е. когда T = t, равна мгновенной краткосрочной ставке r(t). В момент t ставка спот и форвардная ставка, установленные на период (t, t), являются идентичными. Во все другие моменты погашения облигаций они являются разными.
Если кривая ставки спот является возрастающей, то для всех точек вне пери­ода (t, t), кривая форвардной ставки (forward-rate yield curve) лежит выше кривой ставки спот. Если же кривая ставки спот является убывающей, то для всех то­чек вне периода (t, t), кривая форвардной ставки (forward-rate yield curve) лежит ниже кривой ставки спот. Кэмпбелл и его соавторы5 выяснили, что это свойство для кривых является стандартным для маргинальной и средней стоимости. Ина­че говоря, если маргинальная стоимость (например, производства) лежит выше средней кривой, то при производстве дополнительной единицы средняя стоимость будет возрастать. Если же маргинальная стоимость лежит ниже средней кривой, то средняя стоимость будет убывать.


Понравился материал? Поделитесь с друзьями!

<< Предыдущая статьяСледующая статья >>
42.2. Облигации с процентными купонами 42.4. Кривые спот- и форвардной доходности





Убедительная просьба при использовании любых материалов Одесской электронной бизнес-библиотеки ставить активную ссылку на наш сайт. По всем вопросам касательно сайта пожалуйста пишите на почту
      Карта сайта