Book.od.ua Книги для вашего бизнеса



Одесская библиотека бизнес литературы
полезные книги для бизнеса

42.10. Непараметрические методы

Помимо кубических полиномов, описанных в предыдущем разделе, суще­ствует еще два подхода к аппроксимации временной структуры - параметри­ческие и непараметрические кривые. Параметрические кривые основаны на мо­делях процентных ставок, таких как модели Васичека или Логстаффа и Шварца.17 Непараметрические кривые не используют какие-либо модели процентных ставок и представляют собой более общий подход. К ним относятся, в частности, методы сплайн-аппроксимации.
Методы сплайн-аппроксимации
Сплайн-аппроксимацией (spline) называется статистический метод, являющий­ся одной из разновидностей интерполяции. Существует несколько методов приме­нения сплайн-аппроксимации, причем наиболее простым из них является регрес­сия. Однако при построении кривой доходности этот метод приводит к неожидан­ным скачкам. Кроме того, он слишком чувствителен к изменению параметров.18 Тем не менее этот метод является самым понятным.
Сплайн n-го порядка представляет собой кусочную аппроксимацию с помо­щью полиномов n-го порядка, которые являются n - 1 раз дифференцируемыми. Термин "кусочная аппроксимация" означает, что кривая приближается разными полиномами, соединенными между собой в произвольно выбранных узлах (knot points).19 Кубический сплайн - это сплайн третьего порядка, представляющий со­бой кусочный кубический полином, дважды дифференцируемый во всех точках.
При построении регрессии ось x разделяется на сегменты, концами которых являются узлы. В каждом узле кривизна смежных кривых должна совпадать. Ку­бический сплайн с узлами 0, 2, 5, 10 и 25 лет показан на ил. 41.14. В каждой точке кривая является кубическим полиномом.
Непараметрические методы
Интерполяция с помощью кубических сплайнов подразумевает, что отсутству­ющие данные можно восстанавливать, вычисляя кубические полиномы. Сплайн можно интерпретировать как набор согласованных друг с другом кубических по­линомов y = f (X), где точка X лежит в диапазоне, разделенном на узловые точки. Если задан набор значений доходности облигаций r0, r1,..., rn в точках погаше­ния to, ti,..., tn, то кубический сплайн можно вычислить следующим образом.20
• Доходность облигации i в момент t равна значению кубического полинома r^(t) = ai + bit + c^t2 + t^t2 на интервале (ti_1, tj).
• Коэффициенты кубического полинома вычисляются на всех n интерва­лах между n + 1 точками. Таким образом, задача сводится к определению 4n неизвестных коэффициентов.
• При формировании системы алгебраических уравнений используются ис­ходные данные. Кубические полиномы являются дважды дифференцируемыми в узловых точках, причем их производные в этих точках совпадают одна с другой.
• Ограничения, наложенные на сплайны, означают, что кривая в начальной точке (самого короткого срока погашения) и конечной точке (самого долгого срока погашения) является прямой, т.е. r"(0) = 0. Общая формула для вычисления кубических сплайнов имеет следующий вид.
Непараметрические методы
Здесь т - момент получения денежного потока, а Xp - узлы из множества {X0,..., Xp}, Xp < Xp+1, p = 0,..., n - 1. Кроме того, т - Xp = тах(т - Xp, 0). В узловых точках кубический сплайн является дважды дифференцируемым. На практике сплайн записывается как комбинация базисных функций. Один из таких способов позволяет создавать B-сплайны (B-splines). При заданном множестве узлов {X0,..., Xn} B-сплайн записывается следующим образом.
Непараметрические методы
Здесь Вр(т) - кубический сплайн, который аппроксимируется на множестве узлов {X0,..., Xn} с помощью функции
Непараметрические методы
где Л = (А_з,..., An-1) - искомые коэффициенты. В-сплайн определяется по срокам погашения Т1,...,тп так, что В = {Bp(Tj)}p=_3,...,n_1,j=1,...,m и 5 = = (5 (т1),..., 5 (тт)). Таким образом,
Непараметрические методы
где D = CB', а ее' - минимальные погрешности. Регрессионные коэффициенты в уравнении (41.38) определяются с помощью метода наименьших квадратов.


Понравился материал? Поделитесь с друзьями!

<< Предыдущая статьяСледующая статья >>
42.9. Методы сглаживания 42.11. Кривые Нельсона и Сигела





Убедительная просьба при использовании любых материалов Одесской электронной бизнес-библиотеки ставить активную ссылку на наш сайт. По всем вопросам касательно сайта пожалуйста пишите на почту
      Карта сайта