Book.od.ua Книги для вашего бизнеса



Одесская библиотека бизнес литературы
полезные книги для бизнеса

38.2. Сетка процентных ставок

На ил. 37.1 приведен пример биномиального дерева, состоящего из большого количества "узлов" (nodes) и "ветвей" (legs). Каждая ветвь представляет собой годичный интервал времени. Этот выбор сделан для упрощения демонстрации основных принципов. Метод остается корректным и для более коротких интерва­лов времени. На практике выбор длины периода является чрезвычайно важным, но вдаваться в эти тонкости мы пока не будем.
Для описания распределения будущих процентных ставок каждому узлу де­рева приписывается метка N, нижний индекс которой представляет собой комби­нацию символов L и H. Нижний индекс означает, что указанный узел является верхним или нижним по отношению к остальным. Таким образом, узел Nhh достигается, если однолетние ставки в течение первого и второго годов устанав­ливались на максимальном из двух возможных уровней.
Корнем дерева является узел N - единственный момент времени, в котором мы точно знаем процентную ставку. Текущая однолетняя процентная ставка (на­пример, в момент N) равна текущей однолетней ставке спот, которая обозначается символом Го.
Для начала необходимо сделать предположение о вероятности определенного значения процентной ставки в заданный момент времени. Для простоты будем считать, что в любой момент времени любое значение процентной ставки является равновероятным; иначе говоря, вероятность прохода по каждой ветки равна 50%.
Модель процентной ставки, используемая при построении биномиального де­рева, основана на предположении, что однолетняя процентная ставка изменяется во времени по закону логнормального случайного блуждания с известной (посто­янной) волатильностью. С формальной точки зрения дерево представляет собой однофакторную модель. При сделанном предположении о распределении про­центных ставок зависимость между любыми двумя соседними значениями ставки в заданный момент времени вычисляется по следующей формуле.
Здесь а - предполагаемая волатильность однолетней ставки; t - время, измерен­ное в годах; e - основание натурального логарифма. Поскольку интервал предпо­лагается однолетним, т.е. t = 1, мы можем пренебречь вычислением квадратного корня от t в показателе степени.
Например, предположим, что r1;L равна 4,4448%, а волатильность а равна 10% в год. Тогда
ri,H = 4,4448e2x0'10 = 5,4289%.
В течение второго года однолетняя процентная ставка может принять три возможных значения. Зависимость между величинами Г2,ьь и другими двумя
Сетка процентных ставок
Эта зависимость между ставками сохраняется в каждый момент времени. Данный факт продемонстрирован на ил. 37.2.
Определение стоимости в узле
Для вычисления стоимости ценной бумаги в узле дерева используется следу­ющее основное правило: цена равна текущей стоимости ожидаемых денежных потоков. В качестве ставки дисконта, применяемой к денежным потокам на год вперед, используется однолетняя процентная ставка в текущем узле. В рассмат­риваемом варианте существуют две цены: текущая стоимость денежных потоков,
Сетка процентных ставок
если процентная ставка через год увеличивается или уменьшается. Предположим, что оба варианта являются равновероятными. На ил. 37.3 продемонстрирован про­цесс вычисления стоимости ценной бумаги в узле при условии, что г* - одно­летняя ставка в узле; Vh - стоимость облигации, соответствующая повышению процентной ставки; Vl - стоимость облигации, соответствующая понижению процентной ставки; C - размер купонных выплат.
За счет чего возникает будущая стоимость? На самом деле стоимость в любой момент времени зависит от величины будущих денежных потоков. Эти потоки включают в себя 1) купонные выплаты через год и 2) стоимость облигации через год. Каждая из этих величин является неопределенной. Начиная расчеты с узла дерева, соответствующего последнему году, и раскручивая процесс в обратном направлении, мы можем избавиться от неопределенности. В момент погашения стоимость финансового инструмента известна совершенно точно - она равна номинальной цене. Размер последней купонной выплаты можно определить по ставке купона или уровню превалирующих ставок. Обходя дерево в обратном направлении, мы можем быстро вычислить стоимость ценной бумаги в каждом
Сетка процентных ставок
узле. Этот процесс обратного обхода называется рекурсивной оценкой (recursive valuation).
Используя введенные обозначения, денежный поток в узле можно вычислить следующим образом.
Vh + С,если однолетняя процентная ставка увеличивается, Vl + С,если однолетняя процентная ставка уменьшается.
Текущая стоимость этих денежных потоков вычисляется так.
Сетка процентных ставок


Понравился материал? Поделитесь с друзьями!

<< Предыдущая статьяСледующая статья >>
38.1. Оценка облигаций с внутренними опционами 38.3. Калибровка сетки





Убедительная просьба при использовании любых материалов Одесской электронной бизнес-библиотеки ставить активную ссылку на наш сайт. По всем вопросам касательно сайта пожалуйста пишите на почту
      Карта сайта